Dalam dunia matematika istilah aljabar sudah sering kita jumpai. Namun ada istilah lain yaitu aljabar Boolean yang secara luas telah digunakan dalam dunia elektronika seperti pada perancangan pensaklaran, rangkaian digital maupun rangkaian IC (Intergrated Circuit) dalam komputer.
Pengertian Aljabar Boolean
Apa itu aljabar Boolean ? Pengertian Aljabar Boolean adalah aljabar yang berhubungan dengan variabel atau bilangan biner serta operasi logika.
Variabel-variabel yang ada dalam Aljabar Boolean dinyatakan dengan huruf-huruf seperti a, b, c,….y dan z. Serta terdapat 3 operator logika berupa negasi logika seperti AND, NOT dan OR.
Teori ini pertama kali dikenalkan oleh George Boole pada tahun 1854, seorang ahli matematika berkebangsaan Inggris.
Pada beberapa hal terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk aritmatika bilangan riil, yaitu:
- Pada hukum distributif + dan . seperti pada a+(b.c) = (a+b).(a+c) benar untuk aljabar Boolean. Tetapi hal tersebut tidak dibenarkan dalam aljabar biasa.
- Aljabar Boolean tidak mempunyai kebalikan perkalian atau penjumlahan, sehingga tidak ada operasi pembagian maupun pengurangan.
Sebelum masuk lebih dalam pada aturan dan hukum aljabar Boolean, penting untuk kita mengetahui hal-hal yang harus diperhatikan untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, yaitu:
- Elemen-elemen himpunan B
- Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner
- Memenuhi postulat Huntington
Teorama Aljabar Boolean
Pada serangkaian aturan dari ekspresi aljabar Boolean ini diciptakan untuk membantu mengurangi jumlah gerbang logika dasar yang dibutuhkan dalam melakukan operasi logika tertentu. Sehingga nanti akan menghasilkan daftar fungsi atau teorama yang disebut hukum aljabar Boolean.
Dalam aljabar Boolean terdapat 2 teorama, yaitu:
Teorama Variabel Tunggal
Teorama variabel tunggal yang diperoleh dari hasil penurunan operasi logika dasar, yaitu AND, OR dan NOT. Berikut adalah penjelasan tentang 3 operator logika berupa AND, OR dan NOT.
- Operasi AND (.), merupakan perkalian variabel (a atau b serta huruf lain) yang mirip dengan penghubung kalimat konjungsi (˄). a ˄ b (konjungsi) → a . b
- Operasi OR (+), merupakan pertambahan dari variabel (a atau b serta huruf lain) yang mirip dengan penghubung kalimat disjungsi (v) a v b (disjungsi) → a + b
- Operasi NOT, merupakan pengubahan hasil dari tabel Boolean variabel (a atau b serta huruf lain) yang mirip seperti penghubung kalimat Negasi (¬). ¬a (Negasi) → a’
Teorama Variabel Jamak
Teorama variabel jamak yang terdiri dari teorama komutatif, distributif, asosiatif, aborsi dan morgan.
- Teorama/ Hukum Komutatif disini menjelaskan tentang penukaran atau perubahan ururtan variabel input atau sinyal masukan sama sekali tidak berpengaruh pada variabel output pada rangkaian logika. Komutatif (pertukaran) : a + b = b + a a . b = b . a
- Teorama/ Hukum Asosiatif menjelaskan tentang perubahan urutan penyelesaian operasi pada variabel tidak berpengaruh pada variabel output pada rangkaian logika. Asosiatif (pengelompokan) : a + (b + c) = (a + b) + c a . (b . c) = (a . b) . c
- Teorama/ Hukum Distributif menjelaskan bahwa variabel input pada operasi Aljabar Boolean dapat disebarkan tempatnya tanpa mengubah variabel hasil dari output suatu rangkaian logika. Distributif (penyebaran) : a . (b + c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = a . b + a . c
- Hukum Aborsi, Kombinasi dan Konsensus Aborsi/ Penghilangan : a + a . b = a a . (a + b) = a Kombinasi : a . b + a . b = a (a + b) . (a + b) = A Konsensus : a . b + b . c + ā . c = a. b + ā . c (a + b) . (b + c). (ā + c) = ( a + b) . (ā + c)
- Teorama/ Hukum De Morgans ( a + b)’ = a’ . b’ (a . b)’ = a’ + b’
Teori Aljabar Boolean dan Gerbang Logika
Gerbang logika dioperasikan menggunakan teori Aljabar Boolean (Boolean Algebra) dikenal juga sebagai hukum aljabar. Dengan menggunakan hukum ini, Ekspresi Boolean yang kompleks dapat disederhanakan sehingga jumlah gerbang logika dalam sebuah rangkaian digital juga dapat dikurangi.
Artinya Boolean Algebra merupakan perhitungan matematika yang berguna untuk menyederhanakan gerbang logika sebagai blok dasar penyusun sebuah rangkaian digital. Pada dasarnya aljabar Boolean adalah tipe data yang terdiri dari dua nilai, “true” dan “false” atau “tinggi” dan “rendah”.
Dalam bahasa pemrograman penerapannya pada gelombang logika dilambangkan dengan angka 1 (tinggi) dan 0 (rendah). Berapapun jumlah masukan (input) dalam gerbang logika keluaran (output) nya hanya berjumlah satu.
Hubungan antara kombinasi-kombinasi variabel masukan (input) yang menghasilkan keluaran (output) logis disajikan dalam “tabel kebenaran” (truth table).
Karena dianalisis menggunakan teori Aljabar Boolean, gerbang logika juga sering disebut sebagai rangkaian logika. Sebagai contoh sirkuit digital yang diimplementasikan secara elektronik menggunakan dioda atau transistor.
Itulah sedikit penjelasan tentang pengertian aljabar Boolean serta hukum-hukum atau teorama-teorama yang ada pada aljabar Boolean, semoga bermanfaat!
